Deret geometri, urutan angka yang masing-masing suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap, adalah konsep matematika yang banyak ditemui dalam berbagai aplikasi kehidupan. Untuk menguji pemahaman terhadap konsep deret geometri, berikut disajikan 5 contoh soal dengan tingkat kesulitan yang beragam. Soal-soal ini akan mengeksplorasi berbagai aspek deret geometri, mulai dari rumus jumlah hingga penerapannya dalam menyelesaikan masalah kehidupan nyata. Melalui contoh soal ini, pembaca akan memperoleh pemahaman yang lebih mendalam tentang deret geometri.
Rumus Deret Geometri
Deret geometri adalah suatu deret bilangan yang setiap sukunya merupakan perkalian sukunya sebelumnya dengan suatu konstanta yang disebut rasio. Rasio biasanya dilambangkan dengan r. Rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama deret geometri adalah:
Sn = a(1 – r^n) / (1 – r)
di mana:
- Sn adalah jumlah n suku pertama deret geometri
- a adalah suku pertama deret geometri
- r adalah rasio deret geometri
- n adalah banyaknya suku yang dijumlahkan
Bentuk Sederhana
Untuk deret geometri dengan rasio r = 1, rumus jumlah n suku pertama menjadi Sn = na. Sedangkan untuk deret geometri dengan rasio r = -1, rumus jumlah n suku pertama menjadi Sn = 0.
Cara Menyelesaikan Soal Deret Geometri
Untuk menyelesaikan soal deret geometri, perlu memahami konsep dasar deret geometri. Deret geometri adalah deret bilangan yang setiap sukunya merupakan perkalian suku sebelumnya dengan suatu konstanta yang disebut rasio. Rasio deret geometri dapat diketahui dari suku kedua dan suku pertama. Misalnya, untuk deret 2, 4, 8, 16, …, rasionya adalah 4/2 = 2.
Setelah memahami konsep dasar, berikut langkah-langkah menyelesaikan soal deret geometri:
1. Mencari Rasio
Menentukan rasio deret geometri dengan membagi suku kedua dengan suku pertama atau suku ketiga dengan suku kedua, dan seterusnya.
2. Mencari Suku Pertama (a) dan Jumlah Suku (n)
Mencari suku pertama (a) dengan mengambil suku pertama deret. Mencari jumlah suku (n) dengan menghitung jumlah suku yang terdapat dalam deret.
3. Mencari Jumlah Deret Geometri
Menghitung jumlah deret geometri menggunakan rumus:
Sn = a(1 – r^n) / (1 – r)
di mana a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah jumlah suku.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1: Tentukan suku ke-6 dari deret geometri dengan suku pertama 5 dan rasio 2.
Pembahasan:
Rumus suku ke-n deret geometri: Un = a * r^(n-1)
Dengan a = 5, r = 2, dan n = 6
Maka, U6 = 5 * 2^(6-1) = 5 * 2^5 = 5 * 32 = 160.
Contoh Soal 2: Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3.
Pembahasan:
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri: Sn = a * (1 – r^n) / (1 – r)
Dengan a = 2, r = 3, dan n = 5
Maka, S5 = 2 * (1 – 3^5) / (1 – 3) = 2 * (1 – 243) / (-2) = 2 * (-242) / (-2) = 242.
Contoh Soal 3: Sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal 100 m/s dan mengalami perlambatan sebesar 2 m/s setiap detik. Tentukan jarak total yang ditempuh benda hingga berhenti.
Pembahasan:
Gerak benda dengan perlambatan konstan merupakan deret geometri dengan suku pertama a = 100 dan rasio r = 0,98 (karena 1 – 2/100 = 0,98).
Jarak total yang ditempuh sama dengan jumlah tak hingga suku deret geometri, yaitu:
Sn = a * (1 – r^n) / (1 – r)
Dengan n = tak hingga dan r < 1, maka Sn menjadi:
Sn = a / (1 – r)
Maka, jarak total yang ditempuh = 100 / (1 – 0,98) = 5000 meter.
Contoh Soal 4: Sebuah bakteri membelah diri setiap 10 menit. Jika awalnya ada 100 bakteri, tentukan banyak bakteri setelah 1 jam.
Pembahasan:
Setiap 10 menit, jumlah bakteri berlipat ganda menjadi 2 kali lipat. Setelah 1 jam (6 periode 10 menit), maka jumlah bakteri menjadi:
100 * 2^6 = 6400 bakteri.
Contoh Soal 5: Tentukan nilai x jika deret 2x, x + 1, x – 2 adalah deret geometri.
Pembahasan:
Untuk menjadi deret geometri, maka rasio suku-suku yang berurutan harus sama.
(x + 1) / 2x = (x – 2) / (x + 1)
Dengan menyelesaikan persamaan tersebut, diperoleh x = -1.
Demikianlah, kita telah menyelami 5 contoh soal deret geometri yang ibarat gerbong kereta api, berderet secara teratur dengan pola pangkat yang sama. Soal-soal ini menguji pemahaman kita tentang kekhasan deret geometri, di mana setiap suku merupakan perkalian suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Melalui penyelesaian soal-soal ini, kita mampu mengasah kemampuan berpikir logis dan analitis, serta mengungkap keindahan matematika yang tersembunyi di balik deretan bilangan yang kelihatan sederhana namun penuh makna.