Deret geometri, urutan bilangan yang unik di mana setiap suku merupakan kelipatan tetap dari suku sebelumnya, telah memikat para matematikawan selama berabad-abad. Fajar baru muncul saat kita menyingkap misteri deret geometri melalui lensa contoh soal. Setiap soal adalah undangan untuk melepaskan potensi, seperti kunci yang membuka pintu menuju pemahaman yang mendalam tentang konsep yang menawan ini.
Langkah-langkah Menyelesaikan Soal Deret Geometri
Menaklukkan soal deret geometri bukanlah perkara yang rumit, namun memerlukan langkah-langkah strategis. Seperti seorang ksatria yang bertempur di medan perang, kita pun perlu mempersiapkan diri dengan senjata pengetahuan yang mumpuni.
Kenali Musuhmu: Identifikasi Suku Pertama dan Rasio
Langkah pertama ibarat seorang ahli strategi yang mengenali musuh dan medan perangnya. Identifikasi suku pertama (a) sebagai prajurit terdepan dan rasio (r) sebagai faktor pengali yang akan menduplikasi setiap suku berikutnya. Dengan mengenali dua elemen ini, kita telah membangun pijakan yang kokoh.
Ingatlah, rasio bukanlah sekadar angka biasa, melainkan kunci yang membuka rahasia deret geometri. Rasio positif menunjukkan bahwa deret tersebut meluas tak terbatas, sedangkan rasio negatif menunjukkan bahwa deret tersebut berkurang hingga tak berhingga.
Contoh Soal Deret Geometri dan Pembahasannya
Dalam matematika, deret geometri adalah deret angka yang setiap sukunya merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan suatu konstanta yang disebut rasio. Rumus suku ke-n dari deret geometri adalah $$U_n = a\cdot r^{n-1}$$, di mana $$a$$ adalah suku pertama dan $$r$$ adalah rasionya.
Pembahasan Soal
Soal 1
Diketahui deret geometri $$3,6,12,24,\dots$$. Tentukan suku ke-5 dan jumlah deret 4 suku pertama.
Jawaban:
- Suku ke-5: $$U_5 = 3\cdot2^{5-1} = 3\cdot2^4 = 3\cdot16 = 48$$
- Jumlah 4 suku pertama: $$S_4 = \frac{3(1-2^4)}{1-2} = \frac{3(1-16)}{-1} = \frac{3(-15)}{-1} = 45$$
Soal 2
Seorang pedagang membeli sebuah mobil seharga Rp50.000.000,-. Setiap tahun, nilai mobil tersebut menyusut sebesar 15%. Tentukan nilai mobil setelah 5 tahun dan jumlah nilai mobil selama 5 tahun pertama.
Jawaban:
-
Rasio: $$r = 1 – 0,15 = 0,85$$
-
Nilai mobil setelah 5 tahun:
$$U_6 = 50.000.000\cdot0,85^{5-1} = 50.000.000\cdot0,85^4 = 27.830.750$$ -
Jumlah nilai mobil selama 5 tahun pertama:
$$S_5 = \frac{50.000.000(1-0,85^5)}{1-0,85} = \frac{50.000.000(1-0,23725)}{0,15} = \frac{50.000.000\cdot0,76275}{0,15} = 254.250.000$$
Variasi Soal Deret Geometri dan Cara Penyelesaiannya
Deret geometri merupakan suatu barisan bilangan dengan rasio yang tetap antara setiap suku. Soal deret geometri dapat muncul dalam berbagai variasi, dan berikut adalah cara menyelesaikannya:
Rumus Umum Deret Geometri
Rumus umum deret geometri adalah:
$$S_n = \frac{a(1 – r^n)}{1 – r}$$
di mana:
- $S_n$ adalah jumlah dari suku pertama hingga suku ke-$n$
- $a$ adalah suku pertama
- $r$ adalah rasio
Menghitung Jumlah Deret Geometri
Untuk menghitung jumlah deret geometri, kita dapat menggunakan rumus umum di atas. Namun, terdapat beberapa variasi soal yang membutuhkan pendekatan lain.
Jumlah Deret Geometri Tak Hingga
Jika rasio deret geometri lebih kecil dari 1, maka deret tersebut merupakan deret geometri tak hingga. Jumlah deret geometri tak hingga dapat dihitung menggunakan rumus:
$$S = \frac{a}{1 – r}$$
di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio.
Dalam menguasai konsep deret geometri, pengerjaan contoh soal menjadi kunci penting. Dengan berlatih mengerjakan berbagai contoh soal, pemahaman tentang sifat-sifat dan cara menghitungnya akan semakin terasah. Setiap contoh soal deret geometri menyajikan sebuah tantangan yang unik, menguji kemampuan siswa dalam mengidentifikasi suku pertama, rasio, jumlah suku, dan hal-hal lain yang terkait. Melalui contoh soal, siswa tidak hanya belajar menghitung deret tetapi juga meningkatkan keterampilan berpikir analitis dan pemecahan masalah mereka. Dengan demikian, contoh soal deret geometri menjadi alat yang sangat diperlukan untuk memperkuat pemahaman dan mempersiapkan siswa menghadapi soal-soal yang lebih kompleks di masa depan.