Membahas distribusi binomial, yang menggambarkan proses uji coba Bernoulli berulang dengan kemungkinan keberhasilan konstan, memerlukan pemahaman tentang penerapannya. Melalui contoh soal yang cermat, kita akan mengupas penerapan konsep ini dalam skenario kehidupan nyata. Dengan menyelidiki pertanyaan-pertanyaan yang mengajukan kemungkinan keberhasilan tertentu dalam sejumlah uji coba, kita akan menggali cara menghitung probabilitas hasil yang diinginkan. Melalui pendekatan langsung ini, kita akan mengungkap sifat-sifat distribusi binomial, menyediakan landasan yang kuat dalam penerapannya.
Pengertian Distribusi Binomial
Distribusi binomial merupakan suatu model matematika yang digunakan untuk menggambarkan peluang suatu kejadian sukses dalam sejumlah percobaan independen yang sama peluangnya. Kejadian sukses adalah suatu peristiwa yang ingin diamati, sementara percobaan independen adalah serangkaian peristiwa yang saling tidak mempengaruhi. Distribusi binomial ditandai oleh dua parameter, yaitu n (jumlah percobaan) dan p (peluang sukses pada setiap percobaan).
Deskripsi
Sifat-sifat Distribusi Binomial
Distribusi binomial memiliki beberapa sifat yang khas, antara lain:
- Jumlah percobaan bersifat tetap dan diketahui.
- Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal.
- Peluang sukses pada setiap percobaan konstan dan independen.
- Hasil dari setiap percobaan tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya.
- Probabilitas suatu kejadian sukses mengikuti distribusi binomial.
Bentuk Fungsi Distribusi
Fungsi distribusi binomial didefinisikan sebagai berikut:
“`
P(X = x) = (n x) * p^x * (1-p)^(n-x)
“`
* x adalah jumlah kejadian sukses dalam n percobaan
* p adalah peluang sukses pada setiap percobaan
* n adalah jumlah percobaan
Rumus Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan dalam sejumlah pengujian Bernoulli yang independen, yang masing-masing memiliki probabilitas keberhasilan yang sama. Rumus distribusi binomial diberikan oleh:
$$P(X=x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x}$$
di mana:
- (x) adalah jumlah keberhasilan yang diamati
- (n) adalah jumlah uji coba
- (p) adalah probabilitas keberhasilan pada setiap uji coba
Penggunaan Rumus Distribusi Binomial
Rumus distribusi binomial dapat digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya sejumlah keberhasilan tertentu dalam sejumlah pengujian. Sebagai contoh, jika Anda melempar koin yang setimbang 10 kali dan ingin menghitung probabilitas mendapatkan tepat 5 sisi angka, Anda dapat menggunakan rumus distribusi binomial sebagai berikut:
$$P(X=5)={10 \choose 5}(0,5)^5(0,5)^{10-5}$$
$$={252 \times 0,03125 \times 0,09766}$$
$$=0,763$$
Jadi, probabilitas mendapatkan tepat 5 sisi angka ketika melempar koin yang setimbang 10 kali adalah 0,763.
Contoh Soal dan Pembahasan
Dalam sebuah survei, diketahui bahwa probabilitas seseorang menyukai suatu jenis musik tertentu adalah 0,6. Jika survei dilakukan terhadap 10 orang, tentukan probabilitas:
- Tepat 5 orang yang menyukai musik tersebut.
- Paling sedikit 6 orang yang menyukai musik tersebut.
- Antara 4 sampai 7 orang yang tidak menyukai musik tersebut (inclusive).
a. Tepat 5 orang yang menyukai musik tersebut
Probabilitas tepat 5 orang yang menyukai musik tersebut dapat dihitung menggunakan distribusi binomial:
“`
P(X = 5) = (10 choose 5) * (0,6)^5 * (0,4)^5
= 252 * 0,07776 * 0,1024
= 0,2027
“`
b. Paling sedikit 6 orang yang menyukai musik tersebut
Probabilitas paling sedikit 6 orang yang menyukai musik tersebut dapat dihitung sebagai komplemen dari probabilitas paling banyak 5 orang yang menyukai musik tersebut:
“`
P(X >= 6) = 1 – P(X <= 5)
= 1 – (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5))
= 1 – (0,000977 + 0,009766 + 0,04374 + 0,11738 + 0,2027 + 0,2027)
= 1 – 0,577263
= 0,4227
“`
c. Antara 4 sampai 7 orang yang tidak menyukai musik tersebut (inclusive)
Probabilitas antara 4 sampai 7 orang yang tidak menyukai musik tersebut dapat dihitung sebagai penjumlahan probabilitas 4, 5, 6, dan 7 orang yang tidak menyukai musik tersebut. Probabilitas tidak menyukai musik tersebut adalah (1 – 0,6) = 0,4.
“`
P(4 ≤ X ≤ 7) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7)
= (10 choose 4) * (0,4)^4 * (0,6)^6 + (10 choose 5) * (0,4)^5 * (0,6)^5 + (10 choose 6) * (0,4)^6 * (0,6)^4 + (10 choose 7) * (0,4)^7 * (0,6)^3
= 210 * 0,0256 * 0,46656 + 252 * 0,01024 * 0,279936 + 210 * 0,004096 * 0,1679616 + 120 * 0,0016384 * 0,10077696
= 0,384216 + 0,260796 + 0,141125 + 0,065065
= 0,8512
“`
Dalam penjelajahan tentang contoh soal distribusi binomial, kita telah melintasi lanskap probabilitas, menelusuri berbagai skenario di mana keberhasilan atau kegagalan berulang terjadi. Dengan setiap contoh, pemahaman kita tentang distribusi ini semakin mendalam, layaknya nyala api yang semakin terang menerangi jalan pemahaman. Dari lemparan koin hingga pemeriksaan kualitas, distribusi binomial telah memberikan kerangka kerja yang andal untuk menafsirkan hasil percobaan berulang, memperkuat keyakinan kita pada kekuatan statistik dalam mengungkap pola di tengah ketidakpastian.