Contoh soal garis singgung persekutuan dalam adalah santapan lezat bagi para penikmat matematika, hidangan yang menguji kecerdasan dan logika. Bayangkan dua lingkaran yang berpotongan, bagai dua dunia yang bersentuhan. Dan di persimpangan itu, lahirlah garis singgung persekutuan dalam, sebuah jembatan yang menghubungkan keduanya. Garis ini seperti kunci yang membuka rahasia hubungan antar lingkaran, mengungkap misteri yang tersembunyi di balik titik singgung dan jarak antar titik pusatnya. Dengan setiap contoh soal yang terpecahkan, kita melangkah lebih dalam ke kerajaan geometri, mengungkap keindahan dan keanggunan yang tersembunyi di dalamnya.
Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran
Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran dan terletak di dalam kedua lingkaran tersebut. Rumus untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang berpusat di O1(x1, y1) dan O2(x2, y2) dengan jari-jari r1 dan r2 adalah:
Panjang GS = (2√(r1 – r2)² – (x1 – x2)² – (y1 – y2)²)/(x1 – x2)
Rumus ini berlaku jika jarak antar kedua pusat lingkaran (d) lebih besar dari selisih jari-jarinya (r1 – r2). Jika d = r1 – r2 maka GS tidak ada, dan jika d < r1 – r2 maka GS hanya berupa titik singgung. Perhitungan menggunakan rumus ini akan menghasilkan nilai positif karena panjang garis selalu positif.
Langkah-langkah Menentukan Garis Singgung Persekutuan Dalam
Langkah 1: Tentukan Persamaan Kedua Lingkaran
Tuliskan persamaan kedua lingkaran dalam bentuk umum:
(x - a₁)² + (y - b₁)² = r₁²
(x - a₂))² + (y - b₂))² = r₂²
di mana (a₁, b₁) dan (a₂, b₂) adalah titik pusat lingkaran, dan r₁ dan r₂ adalah jari-jarinya.
Langkah 2: Tentukan Titik Pusat dan Jari-jari Lingkaran Singgung Persekutuan
- Titik Pusat: Titik pusat lingkaran singgung persekutuan dalam (O) terletak pada garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran, yaitu garis dengan persamaan:
y = mx + c
di mana m = (b₂ – b₁) / (a₂ – a₁) dan c = b₁ – m * a₁.
- Jari-jari: Jari-jari lingkaran singgung persekutuan dalam (R) sama dengan jarak dari titik pusat (O) ke titik pusat salah satu lingkaran, yaitu:
R = √((a₂ - a₁)² + (b₂ - b₁)² - (r₁ - r₂)²) / 4
Langkah 3: Tentukan Persamaan Lingkaran Singgung Persekutuan Dalam
Tuliskan persamaan lingkaran singgung persekutuan dalam menggunakan titik pusat (a, b) dan jari-jari R:
(x - a)² + (y - b)² = R²
Contoh Soal dan Pembahasan
**Soal:**
Diketahui lingkaran L1 dengan persamaan x^2 + y^2 = 9 dan lingkaran L2 dengan persamaan x^2 + y^2 – 4x – 4y + 4 = 0. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut.
Pembahasan:
**Langkah 1: Mencari titik potong kedua lingkaran**
Kurangi persamaan L2 dengan persamaan L1:
(x^2 + y^2 – 4x – 4y + 4) – (x^2 + y^2) = 0
-4x – 4y + 4 = 0
-x – y + 1 = 0
x + y = 1
Substitusikan x = 1 – y ke dalam persamaan L1:
(1 – y)^2 + y^2 = 9
1 – 2y + y^2 + y^2 = 9
2y^2 – 2y = 8
y^2 – y – 4 = 0
(y – 4)(y + 1) = 0
y = 4 atau y = -1
Titik potong: (0, 1) dan (1, 0)
**Langkah 2: Mencari pusat kedua lingkaran**
L1: (0, 0)
L2: (2, 2)
**Langkah 3: Mencari panjang garis singgung persekutuan dalam**
$$\begin{split} s & = \sqrt{OP^2 – OP_1^2} \\\ & = \sqrt{OP^2 – (OP_1 + OP_2)^2 + 2OP_1 OP_2} \\\ & = \sqrt{2^2 – (1^2 + 1^2)^2 + 2(1)(1)} \\\ & = \sqrt{4 – 4 + 2} \\\ & = \sqrt{2} \end{split}$$
Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam adalah √2 satuan.
Contoh soal garis singgung persekutuan dalam telah kita bahas dengan tuntas, menyingkap misteri geometri yang menawan. Melalui penjelasan yang jelas dan latihan yang terstruktur, kita telah menguasai teknik menentukan titik-titik singgung pada dua lingkaran yang saling berpotongan dalam. Kemampuan ini bagaikan kunci pembuka pintu gerbang menuju pemahaman yang lebih mendalam tentang hubungan antar bangun datar. Sekarang, kita siap terbang tinggi, menjelajahi cakrawala matematika yang lebih luas, berbekal fondasi yang kokoh yang telah kita bangun hari ini.