Contoh Soal Grup Siklik Berparameter

Menjelajahi keajaiban matematika grup, kita akan mengarungi contoh soal grup siklik yang memikat. Grup siklik, dengan struktur sederhana namun elegan, menjadi batu loncatan penting untuk memahami konsep aljabar yang lebih mendalam. Dalam perjalanan ini, kita akan mengupas operasi dan sifat unik grup siklik, mengungkap rahasia tersembunyi di balik komposisi elemen-elemennya. Bersiaplah untuk menjumpai tantangan intelektual yang akan mengasah pikiran Anda dan mengungkap kompleksitas yang memesona dari ranah aljabar.

Contoh Soal Grup Siklik Orde 5

Dalam teori grup, grup siklik adalah jenis grup istimewa yang memiliki elemen-elemennya tersusun secara melingkar. Grup siklik orde 5 adalah grup siklik yang memiliki 5 elemen, biasanya dinotasikan sebagai C5. Elemen-elemen C5 dapat ditulis sebagai berikut:

e (elemen identitas), a, a², a³, a⁴

Dimana “e” adalah elemen identitas, dan “a” adalah pembangkit grup. Operasi grup pada C5 didefinisikan sebagai perkalian elemen-elemennya, yaitu:

aⁱ * a^j = a^{(i + j) mod 5}

Dengan menggunakan operasi ini, kita dapat membuat tabel perkalian untuk C5 yang menunjukkan hasil perkalian dari setiap pasangan elemen:

| e | a | a² | a³ | a⁴ |
|—|—|—|—|—|
| e | e | a | a² | a³ | a⁴ |
| a | a | a² | a³ | a⁴ | e |
| a² | a² | a³ | a⁴ | e | a |
| a³ | a³ | a⁴ | e | a | a² |
| a⁴ | a⁴ | e | a | a² | a³ |

Contoh Soal Grup Siklik Orde 10

Soal:

Misalkan (Z₁₀, +) adalah grup siklik orde 10. Nyatakan semua generator dari grup ini.

Solusi:

Elemen generator dari grup siklik orde n adalah elemen yang memiliki pangkat n menghasilkan elemen identitas.

Dalam hal ini, orde grup adalah 10, sehingga kita harus mencari elemen a yang memiliki pangkat 10 menghasilkan 0 (elemen identitas grup Z₁₀).

Mencari Elemen Generator

Kita dapat memeriksa semua elemen dalam grup Z₁₀ satu per satu untuk menemukan elemen generator:

1: 1¹⁰ = 1 (bukan generator)
2: 2¹⁰ = 1 (bukan generator)
3: 3¹⁰ = 1 (bukan generator)
4: 4¹⁰ = 1 (bukan generator)
5: 5¹⁰ = 1 (bukan generator)
6: 6¹⁰ = 1 (bukan generator)
7: 7¹⁰ = 1 (bukan generator)
8: 8¹⁰ = 0 (generator)
9: 9¹⁰ = 1 (bukan generator)

Jadi, elemen generator dari grup Z₁₀ adalah 8.

Contoh soal grup siklik orde 15

Deskripsi

Grup siklik orde 15 adalah grup yang terdiri dari 15 unsur, dimana setiap unsur dapat diperoleh dari iterasi operasi tertentu (disebut generator) secara berulang.

Soal

Tentukan generator dari grup siklik orde 15.

Jawaban

Sebuah grup siklik orde n memiliki generator tunggal yang berorde n. Karena orde grup siklik orde 15 adalah 15, maka generatornya harus berorde 15.

Unsur dalam grup siklik orde 15 dapat dinotasikan sebagai berikut:

{e, a, a², ..., a¹⁴}

Dimana e adalah elemen identitas dan a adalah generator.

Untuk menemukan generator, kita perlu mencari unsur yang, jika diiterasikan sebanyak 15 kali, akan menghasilkan elemen identitas kembali. Dengan kata lain, kita perlu mencari a sehingga:

a¹⁵ = e

Dengan mencobakan setiap unsur, kita dapat menemukan bahwa:

a⁶ = e

Sehingga, generator dari grup siklik orde 15 adalah a⁶.

Sebagai konklusi, eksplorasi mendalam tentang contoh soal grup siklik telah menyoroti kompleksitas dan keunikan struktur matematika yang menarik ini. Melalui berbagai ilustrasi, artikel ini telah memberikan pemahaman tentang sifat elemen, operasi, dan karakteristik grup siklik. Studi tentang grup siklik tidak hanya mengungkap konsep matematika yang mendasar tetapi juga memberikan wawasan yang berharga bagi disiplin ilmu yang lebih luas seperti aljabar abstrak, teori bilangan, dan kriptografi, membentuk landasan untuk penyelidikan dan aplikasi lebih lanjut dalam dunia matematika yang luas dan memesona.