Menjelajah dunia kombinasi, kita akan menjumpai perpaduan unik dari peluang dan kemungkinan. Bayangkan lemparan dadu dengan titik-titiknya yang beragam, di mana setiap kombinasi mewakili sebuah skenario. Contoh soal kombinasi hadir sebagai laboratorium pemikiran, mengundang kita untuk menyelidiki cara-cara menyusun, memilih, dan mengurutkan elemen, membuka gerbang ke dunia pemecahan masalah yang menggugah pikiran dan kenikmatan intelektual.
Contoh Soal Kombinasi Dasar
Dalam kombinatorika, kombinasi adalah metode untuk menghitung jumlah kemungkinan susunan dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan anggotanya. Kombinasi dasar digunakan untuk menghitung jumlah kemungkinan mengambil r anggota dari suatu himpunan yang memiliki n anggota, yang direpresentasikan sebagai C(n, r). Berikut adalah contoh soal kombinasi dasar:
Sebuah klub olahraga memiliki 10 anggota. Tentukan jumlah cara untuk memilih 3 anggota untuk mewakili klub dalam suatu pertandingan.
Penyelesaian:
Dalam kasus ini, kita memiliki n = 10 anggota dan kita ingin memilih r = 3 anggota. Jumlah cara untuk memilih 3 anggota dari 10 anggota adalah:
“`
C(10, 3) = 10! / (3! * (10 – 3)!)
= 10! / (3! * 7!)
= 10 * 9 * 8 / 6
= 120
“`
Jadi, terdapat 120 cara untuk memilih 3 anggota dari 10 anggota klub olahraga tersebut.
Contoh Soal Kombinasi Lanjutan
2. Dari 10 mahasiswa, akan dipilih 3 mahasiswa sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Berapa banyak cara pemilihan tersebut dapat dilakukan?
Dalam soal ini, terdapat 3 posisi yaitu ketua, sekretaris, dan bendahara. Untuk menentukan banyak cara pemilihan, dapat digunakan rumus kombinasi sebagai berikut:
$$nCr = \frac{n!}{(n-r)! * r!}$$
Dimana:
- n adalah jumlah total objek
- r adalah jumlah objek yang dipilih
Dengan demikian, banyak cara pemilihan 3 mahasiswa dari 10 mahasiswa adalah:
$$_{10}C_3 = \frac{10!}{(10 – 3)! * 3!} = \frac{10!}{7! * 3!} = \frac{10 * 9 * 8}{3 * 2 * 1} = 120$$
Jadi, terdapat 120 cara berbeda untuk memilih 3 mahasiswa sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara dari 10 mahasiswa yang tersedia.
Contoh Soal Kombinasi dengan Peubah Variabel
Soal:
Sebuah kantor memiliki 12 karyawan laki-laki dan 8 karyawan perempuan. Jika dipilih 3 orang untuk mewakili kantor tersebut dalam sebuah konferensi, berapa banyak cara pemilihan yang dapat dilakukan jika:
a. Tidak ada batasan jenis kelamin
Jawaban:
C(12 + 8, 3) = C(20, 3) = 1140 cara
b. Harus terdiri dari 2 laki-laki dan 1 perempuan
Jawaban:
C(12, 2) x C(8, 1) = 66 x 8 = 528 cara
c. Harus dipilih paling sedikit 1 laki-laki
Jawaban:
Dengan prinsip komplemen, cara memilih 3 orang tanpa seorang laki-laki pun adalah:
C(8, 3) = 56 cara
Jadi, cara memilih 3 orang dengan paling sedikit 1 laki-laki adalah:
C(12 + 8, 3) – C(8, 3) = 1140 – 56 = 1084 cara
Sebagai penutup, contoh soal kombinasi yang disajikan dalam artikel ini memberikan gambaran komprehensif tentang konsep kombinatorial yang kompleks. Soalnya menjajaki berbagai aplikasi dan pendekatan, memberikan landasan yang kokoh bagi eksplorasi lebih lanjut. Dengan memecah masalah ke dalam komponen yang lebih kecil dan mengaplikasikan rumus kombinatorial yang sesuai, individu dapat menyelesaikan masalah kombinatorial dengan ketelitian dan efisiensi. Artikel ini berfungsi sebagai katalis untuk memahami dan menghargai keunikan dan kegunaan teori kombinasi dalam memecahkan masalah kehidupan nyata, membuka jalan bagi penemuan dan inovasi lebih lanjut dalam berbagai bidang.