Contoh Soal Logaritma Beserta Jawabannya

Logaritma, kunci gerbang dunia eksponensial, menguak tabir kerumitan dengan membuka kunci bilangan yang tersembunyi di balik cangkang pangkat. Contoh soal logaritma beserta jawabannya hadir sebagai lentera yang menerangi jalan setapak pemahaman, menguak misteri yang membungkus bilangan-bilangan tersembunyi. Dalam panorama angka yang tak terhitung jumlahnya, logaritma menyajikan sebuah perspektif alternatif, membelah bilangan menjadi pecahan eksponensial yang lebih mudah dipahami. Mari kita telusuri dunia logaritma yang menawan ini, mengurai teka-teki demi teka-teki, dan menyinari jalan pencerahan matematika.

Logaritma Dasar 10

Logaritma dasar 10, juga dikenal sebagai logaritma umum, merupakan fungsi yang sangat penting dalam matematika dan sains. Fungsi ini dinotasikan sebagai log₁₀(x) dan didefinisikan sebagai eksponen yang harus dipangkatkan pada 10 untuk menghasilkan x. Misalnya, log₁₀(100) = 2 karena 10 berpangkat 2 sama dengan 100.

Logaritma dasar 10 memiliki beberapa sifat yang berguna. Pertama, logaritma dari suatu perkalian sama dengan jumlah logaritma dari faktor-faktornya. Kedua, logaritma dari suatu pembagian sama dengan logaritma pembilang dikurangi logaritma penyebut. Ketiga, logaritma dari suatu pangkat sama dengan pangkat dikalikan logaritma basisnya. Sifat-sifat ini membuat logaritma dasar 10 sangat berguna untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan pangkat dan perkalian.

Contoh Soal Logaritma Dasar 10

Tentukan nilai dari log₁₀(500).

Menggunakan sifat logaritma dasar 10, dapat kita pecah sebagai berikut:

“`
log<sub>10</sub>(500) = log<sub>10</sub>(5 x 100)
= log<sub>10</sub>(5) + log<sub>10</sub>(100)
= log<sub>10</sub>(5) + 2
“`

Karena 5 tidak dapat diuraikan lebih lanjut sebagai pangkat 10, nilai log₁₀(5) harus ditentukan menggunakan tabel logaritma atau kalkulator. Diketahui bahwa log₁₀(5) ≈ 0,6990. Jadi, nilai log₁₀(500) adalah:

“`
log<sub>10</sub>(500) = 0,6990 + 2
= 2,6990
“`

Logaritma Bilangan

Logaritma bilangan merupakan operasi matematika yang melibatkan eksponen dan pangkat. Konsep ini diperkenalkan pertama kali oleh John Napier pada abad ke-16 dan telah banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, seperti matematika, fisika, dan kimia.

Pengertian Logaritma Bilangan

Logaritma bilangan b dengan basis a, ditulis sebagai log_ab, adalah eksponen di mana a harus dinaikkan untuk menghasilkan b. Dengan kata lain, log_ab = x jika dan hanya jika a^x = b.

Sifat-Sifat Logaritma Bilangan

Logaritma bilangan memiliki beberapa sifat penting, di antaranya:

1. log_a(ab) = log_aa + log_ab

2. log_a(b/c) = log_ab – log_ac

3. log_aa^b = b

4. log_a1 = 0

5. log_aa = 1

Logaritma Persamaan

Logaritma adalah invers dari eksponen, yang memungkinkan kita untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan perpangkatan. Persamaan logaritma memiliki bentuk umum log_a(x) = b, di mana a > 0, a ≠ 1, b adalah bilangan real, dan x adalah variabel yang ingin kita cari. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita dapat menggunakan definisi logaritma dan sifat-sifatnya.

Rumus-Rumus Logaritma

• Logaritma Dasar a: log_a(x) = y jika dan hanya jika a^y = x, dengan a > 0, a ≠ 1
• Sifat Logaritma: Logaritma memiliki beberapa sifat yang berguna, seperti:
  • log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
  • log_a(x/y) = log_a(x) – log_a(y)
  • log_a(a^m) = m

Contoh Soal Logaritma Persamaan

1. Selesaikan persamaan log₃(x) = 2.

Dengan menggunakan definisi logaritma, kita dapat menulis 3² = x. Jadi, x = 3² = 9.

2. Selesaikan persamaan log₂(x + 1) = 3.

Dengan menggunakan definisi logaritma, kita dapat menulis 2³ = x + 1. Jadi, x = 2³ – 1 = 7.

3. Selesaikan persamaan log₄(x – 2) + log₄(x + 2) = 2.

Dengan menggunakan sifat penjumlahan logaritma, kita dapat menulis log₄((x – 2)(x + 2)) = 2. Dengan menggunakan definisi logaritma, kita dapat menulis 4² = (x – 2)(x + 2). Jadi, (x – 2)(x + 2) = 16. Mengembangkan dan menyelesaikan persamaan ini menghasilkan x = 2 atau x = -6 (memenuhi syarat a > 0).

Melalui perjalanan eksploratif soal-soal logaritma beserta jawabannya, kita telah menyelami kedalaman konsep matematika yang menawan ini. Setiap contoh soal menjadi batu loncatan yang mengantarkan kita ke pemahaman yang lebih jernih. Dengan sabar menelusuri jalan berliku konversi dan penyederhanaan logaritmik, kita telah membuka kunci wawasan matematis yang sebelumnya mungkin tampak rumit. Sekarang, kita berdiri dengan percaya diri, siap menaklukkan tantangan logaritma apa pun yang menghadang, bersenjatakan keterampilan dan pengetahuan yang telah kita raih melalui latihan yang tak kenal lelah ini.