Contoh soal matriks kelas 11 hadir bak lukisan matematika yang mendebarkan. Garis-garis bilangannya bagai jaring laba-laba yang mengikat pikiran, menantang logika dan kreativitas. Operasi perkalian, penjumlahan, dan penentu ibarat permainan teka-teki yang menguji ketajaman analitis. Di setiap soal, tersembunyi kisah numerik yang mengundang kita menyelami misteri matriks dan memecahkan kode-kode tersembunyinya.
Contoh Soal Matriks untuk Determinan
Tentukan determinan dari matriks berikut:
A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1\\\0 & 4 & 2 \\\1 & 0 & 3\end{bmatrix}
**Langkah Pengerjaan:**
– **Ekspansi Kofaktor menurut Baris ke-1**
Determinan dari matriks A dapat dihitung dengan mengekspansi kofaktor menurut baris atau kolom mana pun. Kita akan mengekspansi kofaktor menurut baris ke-1 yang memiliki entri bukan nol pada semua kolomnya.
Kofaktor dari entri a_{11} = 2 adalah:
C_{11} = \begin{bmatrix}4 & 2 \\\0 & 3\end{bmatrix}
Kofaktor dari entri a_{12} = -3 adalah:
C_{12} = \begin{bmatrix}0 & 2 \\\1 & 3\end{bmatrix}
Kofaktor dari entri a_{13} = 1 adalah:
C_{13} = \begin{bmatrix}0 & 4 \\\1 & 0\end{bmatrix}
– **Perhitungan Determinan:**
Dengan menggunakan kofaktor yang diperoleh, kita dapat menghitung determinan matriks A sebagai berikut:
det(A) = 2C_{11} – 3C_{12} + 1C_{13}
= 2\begin{vmatrix}4 & 2 \\\0 & 3\end{vmatrix} – 3\begin{vmatrix}0 & 2 \\\1 & 3\end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix}0 & 4 \\\1 & 0\end{vmatrix}
= 2(4)(3) – 3(0)(3) + 1(0)(0)
= 24
Jadi, determinan dari matriks A adalah 24.
Contoh Soal Matriks untuk Inverter Matriks
Inverter matriks adalah operasi matematika yang digunakan untuk menemukan matriks kebalikan dari suatu matriks. Matriks kebalikan dari matriks A, ditulis sebagai A-1, adalah matriks yang memenuhi persamaan AA-1 = A-1A = I, di mana I adalah matriks identitas.
Untuk menemukan inverter matriks, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, seperti metode Gauss-Jordan, metode adjoint, dan metode Cramer.
Contoh Soal
Tentukan inverter dari matriks berikut:
A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}
Dengan menggunakan metode adjoint:
Langkah 1: Hitung matriks adjoint dari matriks A, yaitu
adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}
Langkah 2: Hitung determinan dari matriks A, yaitu
det(A) = 1 * 4 – 2 * (-3) = 10
Langkah 3: Hitung inverter dari matriks A, yaitu
A-1 = \frac{1}{\det(A)} * adj(A) = \frac{1}{10} * \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ \frac{3}{10} & \frac{1}{10} \end{bmatrix}
Jadi, inverter dari matriks A adalah \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ \frac{3}{10} & \frac{1}{10} \end{bmatrix}.
Contoh Soal Matriks untuk Sistem Persamaan Linear
Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan cara yang efisien. Berikut adalah contoh soal yang mengilustrasikan penggunaan matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linear:
Selesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan matriks:
$$2x + 3y = 11$$
$$4x – y = 1$$
Penyelesaian
Langkah pertama adalah menulis sistem persamaan linear dalam bentuk matriks:
$$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\\ 1 \end{bmatrix}$$
Selanjutnya, kita menyelesaikan persamaan tersebut dengan mengalikan kedua sisi dengan invers matriks koefisien:
$$\begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\\ 4 & -1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 11 \\\ 1 \end{bmatrix}$$
Invert matriks koefisien dan kalikan dengan matriks konstanta untuk mendapatkan solusi:
$$\begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{11}\begin{bmatrix} -1 & -3 \\\ -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 \\\ 1 \end{bmatrix}$$
$$\therefore \begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\\ 3 \end{bmatrix}$$
Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah x = 2 dan y = 3.
Contoh soal matriks kelas 11 menggiring siswa pada petualangan numerik yang mendebarkan, di mana mereka menavigasi belantara bilangan yang terorganisir. Soal-soal ini menyoroti kekuatan matriks, alat matematika yang begitu fleksibel sehingga dapat memodelkan beragam fenomena, mulai dari transformasi geometris hingga sistem persamaan linear yang kompleks. Dengan memecahkan contoh soal ini, siswa tidak hanya memperoleh pemahaman yang lebih dalam tentang konsep matriks tetapi juga mengembangkan keterampilan berpikir analitis mereka, yang akan terbukti sangat berharga dalam perjalanan akademis dan profesional mereka di masa depan.