Dalam dunia matematika yang penuh intrik, contoh soal permutasi dan kombinasi hadir sebagai permata geometris yang memadukan logika dan keindahan. Permutasi, si penari lincah, diatur oleh hukum ketertiban, mengajarkan kita tentang susunan unik elemen dalam suatu himpunan. Kombinasi, di sisi lain, adalah pesulap penyederhanaan, mengungkapkan rahasia menghitung pilihan tanpa mengkhawatirkan susunan. Gabungan dua kekuatan ini mengundang kita untuk menyelami labirin kemungkinan, di mana setiap langkah menyingkap keajaiban matematika.
Permutasi Tanpa Pengulangan
Permutasi tanpa pengulangan adalah suatu penyusunan dari beberapa objek yang berbeda dengan urutan yang berbeda, di mana setiap objek hanya dapat digunakan satu kali. Dalam permutasi tanpa pengulangan, jumlah susunan yang mungkin ditentukan oleh faktorial dari jumlah objek yang digunakan. Faktorial dari suatu bilangan n (dinotasikan sebagai n!) adalah hasil kali semua bilangan asli dari 1 hingga n. Misalnya, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Contoh
Misalkan kita memiliki 4 huruf: A, B, C, dan D. Kita ingin menyusun huruf-huruf ini menjadi kata-kata yang terdiri dari 3 huruf. Karena urutan huruf berbeda, susunan yang mungkin adalah:
- ABC
- ABD
- ACB
- ACD
- BAD
- BAC
- CAD
- CBA
- CAB
- DAB
- DAC
- DBA
- DCA
- ADB
- ADC
Jadi, terdapat 15 susunan yang mungkin dari 4 huruf tersebut untuk membentuk kata-kata yang terdiri dari 3 huruf.
Permutasi Dengan Pengulangan
Permutasi dengan pengulangan adalah suatu susunan elemen-elemen yang boleh berulang dari suatu himpunan. Dalam permutasi jenis ini, setiap elemen dapat digunakan lebih dari satu kali dalam suatu susunan.
Contoh Permutasi Dengan Pengulangan
Sebagai contoh, jika kita memiliki himpunan {a, b, c, d}, maka permutasi dengan pengulangan dari himpunan tersebut adalah:
- aaa
- aaab
- aaac
- aaad
- aabb
- aabc
- aacd
- abbb
- abbc
- abcd
- accc
- accd
- dddd
Jumlah permutasi dengan pengulangan dari suatu himpunan dengan n elemen adalah n^r, di mana r adalah banyaknya elemen yang disusun.
Kombinasi
Kombinasi adalah cara memilih beberapa objek dari suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan pemilihan. Banyaknya kombinasi r objek dari suatu himpunan yang berisi n objek, dinyatakan dengan nCr atau C(n, r), dan dapat dihitung dengan rumus:
nCr = n!/r!(n-r)!
di mana n! disebut faktorial n dan merupakan perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 sampai n.
Contoh Soal
Misalkan sebuah kelas terdiri dari 20 siswa, yang terdiri dari 10 siswa laki-laki dan 10 siswa perempuan. Berapakah banyak cara untuk membentuk sebuah tim yang terdiri dari 5 siswa yang terdiri dari 3 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan?
**Penyelesaian:**
Banyak cara untuk memilih 3 siswa laki-laki dari 10 siswa laki-laki adalah 10C3 = 10!/3!(10-3)! = 120.
Banyak cara untuk memilih 2 siswa perempuan dari 10 siswa perempuan adalah 10C2 = 10!/2!(10-2)! = 45.
Dengan demikian, banyak cara untuk membentuk sebuah tim yang terdiri dari 3 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan adalah 120 x 45 = 5400 cara.
Contoh soal permutasi dan kombinasi yang dipaparkan dalam artikel ini telah mengupas tuntas konsep penting mengenai pengaturan dan pemilihan elemen dalam suatu himpunan. Dengan menguasai konsep-konsep ini, pembaca dapat dengan mudah memecahkan masalah-masalah yang melibatkan pengambilan sampel atau pengurutan objek. Artikel ini menyajikan pendekatan yang komprehensif, memberikan pemahaman mendalam tentang teknik permutasi dan kombinasi, sekaligus menyoroti penerapannya dalam situasi kehidupan nyata. Dengan menguasai materi ini, pembaca akan memiliki kemampuan untuk menyelesaikan berbagai masalah dengan ketajaman dan efisiensi yang luar biasa.