Contoh Soal Persamaan Lingkaran: Cari Pusat dan Jari-jari

by

Persamaan lingkaran, sebuah pilar geometri, mengundang kita menyelami dunia persamaan kuadrat yang menawan. Melalui contoh soal, mari kita telusuri keajaiban matematis ini, di mana persamaan sederhana mengungkap bentuk geometris yang elegan. Fenomena alam yang indah, dari tetes embun hingga jalur bintang, terwujud dalam lingkaran yang mempesona. Dengan memecahkan contoh soal persamaan lingkaran, kita tidak hanya memecahkan teka-teki matematis, tetapi juga membuka kunci pemahaman tentang simetri dan keindahan yang tersembunyi dalam dunia di sekeliling kita.

Jenis-Jenis Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran dapat dibedakan menjadi beberapa jenis, yaitu:

Persamaan Lingkaran Umum

Persamaan lingkaran umum memiliki bentuk:
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0

di mana g dan f adalah koordinat titik pusat lingkaran (x_p, y_p), dan c adalah jari-jari lingkaran dikuadratkan.

Persamaan ini dapat digunakan untuk mencari koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran. Pusat lingkaran terletak pada titik (x_p, y_p) = (-g, -f), sedangkan jari-jari lingkaran adalah r = sqrt(g^2 + f^2 – c).

Cara Menyelesaikan Soal Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan antara jarak suatu titik (x, y) dari suatu titik pusat (a, b) dengan suatu bilangan positif r, yang disebut jari-jari lingkaran. Ada empat bentuk utama persamaan lingkaran, yaitu:

  1. (x – a)² + (y – b)² = r²
  2. (x – h)² + (y – k)² = r²
  3. x² + y² = r²
  4. x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Langkah-Langkah Menyelesaikan Soal Persamaan Lingkaran

Berikut ini adalah langkah-langkah yang dapat diikuti untuk menyelesaikan soal persamaan lingkaran:

  1. Identifikasi jenis persamaan lingkaran yang digunakan pada soal.
  2. Buatlah persamaan umum persamaan lingkaran.

    3. Jika persamaan lingkaran berada dalam bentuk umum, yaitu x² + y² + Dx + Ey + F = 0, maka diperlukan langkah tambahan berikut untuk memperoleh persamaan umum persamaan lingkaran:

    • Pindahkan semua suku yang tidak mengandung x dan y ke ruas kanan persamaan.
    • Kuadratkan koefisien D dan E.
    • Tambahkan dan kurangkan suku-suku berikut ke ruas kiri persamaan:

      • (D/2)² + (E/2)²

    • Faktorisasi suku-suku di ruas kiri persamaan menjadi bentuk persegi sempurna.
  3. Identifikasi nilai a, b, dan r.
  4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran.

Contoh Soal

Jika sebuah lingkaran memiliki jari-jari 5 cm, tentukan persamaan lingkaran tersebut.

Jika sebuah titik (3, -4) terletak pada sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 8x + 12y + k = 0, tentukan nilai k.

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, -3) dan menyinggung garis y = x – 1.

Pembahasan

Contoh Soal 1

Persamaan lingkaran: (x – h)2 + (y – k)2 = r2, dengan (h, k) pusat lingkaran dan r jari-jari lingkaran.

Karena jari-jari lingkaran adalah 5 cm, maka persamaan lingkarannya adalah (x – 0)2 + (y – 0)2 = 52, atau x2 + y2 = 25.

Contoh Soal 2

Jika sebuah titik (x1, y1) terletak pada lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0, maka x12 + y12 + Dx1 + Ey1 + F = 0.

Dengan menggantikan titik (3, -4) ke dalam persamaan yang diberikan, diperoleh 32 + (-4)2 – 8(3) + 12(-4) + k = 0, sehingga k = -49.

Contoh Soal 3

Langkah 1: Tentukan jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung.

Jarak dari pusat lingkaran (h, k) ke garis singgung y = mx + c adalah |k – c – mh| / √(1 + m2).

Dalam kasus ini, m = 1 dan c = -1, sehingga jarak pusat lingkaran ke garis singgung adalah |k + 1 – 2h| / √2.

Langkah 2: Tentukan jari-jari lingkaran.

Karena lingkaran menyinggung garis singgung, maka jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung sama dengan jari-jari lingkaran.

Langkah 3: Tentukan persamaan lingkaran.

Persamaan lingkaran: (x – h)2 + (y – k)2 = r2, dengan (h, k) pusat lingkaran dan r jari-jari lingkaran.

Dengan menggantikan nilai jarak pusat lingkaran ke garis singgung dan jari-jari lingkaran yang telah ditentukan, diperoleh (x – h)2 + (y – k)2 = (|k + 1 – 2h| / √2)2.

Sebagai penutup, beragam contoh soal persamaan lingkaran yang disajikan dalam artikel ini bukan hanya sekadar deretan rumus dan perhitungan. Setiap soal ibarat sebuah kanvas, tempat para penggila matematika melukiskan kreativitas dan ketajaman analitisnya. Persamaan-persamaan ini adalah pintu gerbang menuju dunia geometri yang menawan, di mana garis, titik, dan lingkaran berpadu membentuk pola yang menakjubkan. Mempelajari soal-soal ini tidak hanya mengasah keterampilan matematis, tetapi juga merangsang imajinasi dan kecintaan terhadap keunikan setiap aspek dari alam semesta yang kita tinggali.

Leave a Comment