Contoh soal sistem pertidaksamaan linear dua variabel menjadi topik menggugah dalam ranah matematika. Sistem ini melibatkan dua variabel yang dibatasi oleh tanda pertidaksamaan seperti ≤, ≥, <, atau >, membentuk kawasan penyelesaian. Mengeksplorasi contoh-contoh konkret dari sistem ini menghidupkan konsep abstrak, mengungkap dinamika interaksi antar variabel. Setiap contoh menyajikan teka-teki yang unik, menuntut pemahaman mendalam tentang sifat pertidaksamaan dan hubungan antara keduanya. Melalui contoh-contoh ini, siswa diajak menyelami dunia sistem pertidaksamaan linear dua variabel, mengungkap seluk-beluknya yang tersembunyi.
Memecahkan Sistem Pertidaksamaan Sederhana
Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah kumpulan dua atau lebih pertidaksamaan linear yang melibatkan dua variabel yang sama. Memecahkan sistem pertidaksamaan sederhana berarti menemukan semua nilai variabel yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem.
Untuk memecahkan sistem pertidaksamaan sederhana, kita dapat menggunakan metode grafik atau metode aljabar.
Metode Grafik
Pada metode grafik, kita terlebih dahulu menggambar grafik setiap pertidaksamaan dalam sistem. Daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan dalam sistem adalah irisan dari semua daerah yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan.
Metode Aljabar
Pada metode aljabar, kita menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan menggunakan operasi aljabar, seperti penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Langkah-langkah memecahkan sistem pertidaksamaan sederhana dengan metode aljabar:
- Sederhanakan setiap pertidaksamaan dengan mengisolasi variabel pada satu sisi tanda pertidaksamaan.
- Tentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan secara terpisah dengan mengidentifikasi titik kritis (titik di mana variabel bernilai nol).
- Tentukan irisan dari semua daerah yang memenuhi masing-masing pertidaksamaan. Irisan ini adalah solusi dari sistem pertidaksamaan.
Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan dengan Metode Grafik
Metode grafik merupakan cara penyelesaian sistem pertidaksamaan dengan menggambar grafik garis batas setiap pertidaksamaan dalam sistem koordinat Cartesius. Daerah penyelesaian yang memenuhi semua pertidaksamaan disebut daerah himpunan penyelesaiannya.
Menggambar Garis Batas Pertidaksamaan
Setiap pertidaksamaan linear dua variabel dapat direpresentasikan sebagai persamaan garis. Untuk pertidaksamaan dalam bentuk y > mx + c, gambarlah garis y = mx + c sebagai garis putus-putus (tidak termasuk garis). Daerah di atas garis ini merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan.
Menggambar Garis Batas Pertidaksamaan dengan Kemiringan Positif
Jika kemiringan garis positif (m > 0), daerah penyelesaian berada di atas garis. Untuk menggambar garis batas, ambil dua titik pada garis (misalnya, (0, c) dan (1, m + c)). Hubungkan kedua titik ini dengan garis putus-putus.
Menggambar Garis Batas Pertidaksamaan dengan Kemiringan Negatif
Jika kemiringan garis negatif (m < 0), daerah penyelesaian berada di bawah garis. Untuk menggambar garis batas, ambil dua titik pada garis (misalnya, (0, c) dan (1, m + c)). Hubungkan kedua titik ini dengan garis putus-putus.
Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan dengan Metode Aljabar
Metode aljabar adalah cara menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan menggunakan operasi matematika dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan metode aljabar adalah sebagai berikut:
Menyelesaikan Pertidaksamaan dengan Dua Variabel
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan dua variabel, kita dapat menggunakan metode aljabar dengan langkah-langkah sebagai berikut:
- Isolasi salah satu variabel pada ruas kiri persamaan.
- Tentukan tanda daerah penyelesaiannya dengan membandingkan koefisien variabel yang diisolasi dengan tanda pertidaksamaannya.
- Gambarkan grafik daerah penyelesaiannya pada bidang koordinat. Daerah penyelesaian berada di atas garis atau di bawah garis tergantung tanda pertidaksamaannya.
Menyelesaikan Sistem Pertidaksamaan dengan Dua Variabel
Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan dengan dua variabel, kita dapat menggunakan metode aljabar dengan langkah-langkah sebagai berikut:
- Selesaikan masing-masing pertidaksamaan menjadi pertidaksamaan dengan satu variabel.
- Tentukan daerah penyelesaian dari masing-masing pertidaksamaan.
- Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah irisan dari daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan. Daerah penyelesaian ini dapat digambarkan pada bidang koordinat.
- Selesaikan masing-masing pertidaksamaan:
- Tentukan daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan:
- Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
Contoh:
Selesaikan sistem pertidaksamaan berikut dengan metode aljabar:
$$ x + y \geq 3 $$
$$ 2x – y \leq 4 $$
$$ x + y \geq 3 \Rightarrow y \geq -x + 3 $$
$$ 2x – y \leq 4 \Rightarrow y \geq 2x – 4 $$
$$ Daerah penyelesaian \text{ }y \geq -x + 3 \text{ }adalah \text{ }y \text{ }di atas garis \text{ }y = -x + 3 $$
$$ Daerah penyelesaian \text{ }y \geq 2x – 4 \text{ }adalah \text{ }y \text{ }di atas garis \text{ }y = 2x – 4 $$
$$ Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah irisan dari kedua daerah penyelesaian, yaitu daerah yang berada di atas dan kiri garis \text{ }y = -x + 3 \text{ }dan daerah yang berada di atas dan kanan garis \text{ }y = 2x – 4 \text{ }.$$
Contoh soal sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang telah diuraikan mengilustrasikan teknik penyelesaian yang efektif untuk jenis soal ini. Dengan memahami hubungan antara variabel dan batas yang ditentukan oleh pertidaksamaan, kita dapat mewakilinya secara grafis dan menemukan solusi yang memenuhi semua batasan. Proses ini membutuhkan pemahaman yang jelas tentang graf linear dan konsep daerah penyelesaian, menunjukkan pentingnya keterampilan geometris dalam menyelesaikan soal matematika. Contoh-contoh ini berfungsi sebagai batu loncatan yang kokoh untuk menguasai pertidaksamaan linear yang lebih kompleks, membuka jalan bagi pemahaman yang mendalam tentang konsep ini dalam kalkulus dan aplikasi matematika lainnya.