Dalam dunia matematika, persamaan linear dua variabel (SPLDV) merupakan gerbang menuju pemahaman tentang konsep sistem persamaan. Salah satu metode ampuh untuk memecahkan SPLDV adalah metode eliminasi, di mana persamaan diubah dan disederhanakan untuk menghilangkan salah satu variabel. Mari kita menjelajahi contoh soal SPLDV metode eliminasi, yang akan mengupas teknik ini secara detail, sehingga pembaca dapat dengan mudah memahami dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah matematika yang lebih kompleks.
Metode Eliminasi Menggunakan Penjumlahan dan Pengurangan
Metode eliminasi dengan penjumlahan dan pengurangan merupakan teknik penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan cara memodifikasi koefisien salah satu variabel agar memiliki nilai nol. Modifikasi ini dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan yang telah ada. Teknik ini memanfaatkan sifat distributif operasi matematika, di mana penjumlahan atau pengurangan dua persamaan yang sama dengan variabel berbeda akan menghasilkan persamaan baru yang setara dengan persamaan awal. Dengan mengeliminasi salah satu variabel, kita dapat mencari nilai variabel yang tersisa dan kemudian menentukan nilai variabel yang telah dieliminasi.
Langkah-langkah Metode Eliminasi Penjumlahan dan Pengurangan:
1. **Pilih variabel yang akan dieliminasi.** Jika memungkinkan, pilih variabel yang memiliki koefisien terkecil atau yang koefisiennya dapat saling disederhanakan.
2. **Kalikan kedua persamaan dengan faktor yang sesuai.** Faktor ini harus membuat koefisien variabel yang dipilih sama pada kedua persamaan.
3. **Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan yang telah dikalikan.** Operasi ini akan mengeliminasi variabel yang dipilih, menghasilkan persamaan baru dalam satu variabel.
4. **Selesaikan persamaan yang dihasilkan.** Cari nilai variabel yang tersisa.
5. **Substitusikan nilai tersebut ke salah satu persamaan awal.** Hal ini akan memberikan nilai variabel yang telah dieliminasi.
Metode Eliminasi Menggunakan Perkalian dan Pembagian
Metode eliminasi dengan perkalian dan pembagian merupakan teknik yang ampuh untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Prinsipnya adalah memanipulasi kedua persamaan untuk mendapatkan persamaan yang setara, namun dengan koefisien variabel yang memungkinkan untuk saling eliminasi atau menghilangkan.
Langkah-Langkah Metode Eliminasi Menggunakan Perkalian dan Pembagian
- Perkalian Silang: Kalikan kedua persamaan dengan bilangan yang sesuai agar diperoleh koefisien salah satu variabel yang sama dan berlawanan tanda.
- Penjumlahan atau Pengurangan: Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan yang telah diperbanyak untuk mengeliminasi variabel tersebut, sehingga diperoleh persamaan baru dengan hanya satu variabel.
- Penyelesaian Variabel yang Tersisa: Dari persamaan baru yang diperoleh, cari nilai variabel yang tersisa dengan menyelesaikan persamaan tersebut.
- Substitusi: Gantikan nilai variabel yang telah diperoleh ke salah satu persamaan awal untuk mencari nilai variabel yang lainnya.
Metode Eliminasi Menggunakan Perkalian dan Pembagian
Langkah kedua dalam metode eliminasi menggunakan perkalian dan pembagian yaitu penjumlahan atau pengurangan kedua persamaan yang telah diperbanyak. Proses ini bertujuan untuk mengeliminasi salah satu variabel dengan menciptakan persamaan baru yang hanya memuat satu variabel. Jika kedua persamaan yang diperbanyak memiliki koefisien variabel yang sama dan berlawanan tanda, maka setelah dijumlahkan atau dikurangkan akan menghasilkan persamaan baru tanpa variabel tersebut. Persamaan ini dikenal sebagai persamaan yang tereliminasi.
Contoh:
Untuk SPLDV 2x + 3y = 13 dan 3x – 2y = 5, perkalian silang dapat dilakukan dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 3, sehingga diperoleh:
4x + 6y = 26
9x - 6y = 15
Selanjutnya, kedua persamaan tersebut dapat dijumlahkan untuk mengeliminasi variabel y:
13x = 41
Dari persamaan tereliminasi ini, kita dapat menyelesaikan nilai x: x = 41/13.
Contoh Soal dan Pembahasannya
Berikut adalah contoh soal SPLDV metode eliminasi dan pembahasannya:
Soal 1
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
$$\begin{align} x + y &= 5 \\ 2x – y &= 1 \end{align}$$
Pembahasan:
Untuk mengeliminasi variabel y, kita kalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 2:
$$\begin{align} x + y &= 5 \\ 4x – 2y &= 2 \end{align}$$
Kemudian, kita tambahkan kedua persamaan:
$$\begin{align} 5x &= 7 \\ x &= 7/5 \end{align}$$
Substitusi nilai x ke salah satu persamaan awal akan menghasilkan nilai y:
$$\begin{align} 7/5 + y &= 5 \\ y &= 5 – 7/5 \\ y &= 22/5 \end{align}$$
Jadi, solusi dari SPLDV tersebut adalah (7/5, 22/5).
Sebagai kesimpulan, menguasai metode eliminasi untuk menyelesaikan contoh soal spldv merupakan keterampilan penting dalam aljabar linier. Dengan melatih keterampilan ini secara konsisten, individu akan mampu mentransformasikan persamaan yang kompleks menjadi sistem yang lebih sederhana, sehingga memungkinkan mereka menemukan solusi secara efisien. Metode eliminasi layaknya sebuah alat ajaib yang memungkinkan seseorang membuka pintu menuju solusi yang tersembunyi, mengungkap misteri dunia persamaan linear dengan cara yang mudah dipahami dan praktis.