Menyingkap Tabir Fungsi Komposisi dan Invers: Sebuah Eksplorasi Contoh Soal UN. Perjalanan kita dimulai dengan contoh soal UN yang menantang, menguji pemahaman kita tentang manipulasi fungsi. Soal-soal ini membutuhkan pemahaman yang mendalam tentang komposisi fungsi, di mana fungsi digabungkan untuk menciptakan fungsi baru, dan fungsi invers, di mana input dan output suatu fungsi dibalik. Kami akan membedah setiap soal, mengungkap strategi pemecahan langkah demi langkah dan menavigasi jalan berliku menuju solusi yang benar. Apakah Anda siap untuk mengungkap misteri fungsi-fungsi ini dan membuktikan keahlian matematika Anda? Mari kita mulai ekspedisi intelektual ini dengan contoh pertama kami.
Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi adalah operasi matematika yang menggabungkan dua fungsi menjadi fungsi baru. Fungsi baru ini diperoleh dengan memasukkan keluaran dari fungsi pertama sebagai masukan ke fungsi kedua. Notasi untuk fungsi komposisi adalah (f o g)(x) atau f(g(x)), yang dibaca sebagai “f komposisi g dari x”.
Definisi Formal
Misalkan f dan g adalah dua fungsi dengan domain dan kodomain yang sesuai. Maka fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai:
(f o g)(x) = f(g(x)), untuk setiap x dalam domain g
Dengan kata lain, untuk mengevaluasi f o g pada suatu nilai x, kita terlebih dahulu mengevaluasi g pada x, dan kemudian menggunakan hasil tersebut sebagai masukan untuk fungsi f.
Fungsi Invers
Jika f adalah suatu fungsi dari A ke B, fungsi invers dari f, dinotasikan dengan f^-1, adalah fungsi dari B ke A sedemikian sehingga untuk setiap x di A dan y di B, berlaku:
- f(x) = y jika dan hanya jika f^-1(y) = x
Sifat-sifat Fungsi Invers
- Domain fungsi f^-1 adalah range fungsi f.
- Range fungsi f^-1 adalah domain fungsi f.
- (f^-1)^-1 = f.
- Jika f adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada, maka f pasti memiliki fungsi invers.
- Jika f adalah fungsi naik (turun), maka f^-1 juga merupakan fungsi naik (turun).
- Jika f adalah fungsi genap (ganjil), maka f^-1 juga merupakan fungsi genap (ganjil).
- Grafik fungsi f^-1 adalah refleksi grafik fungsi f terhadap garis y = x.
Contoh
Misalkan fungsi f(x) = 2x + 1. Maka fungsi inversnya adalah:
f^-1(x) = (x - 1) / 2
Karena untuk setiap x di domain f dan y di range f, berlaku:
f(x) = y jika dan hanya jika f^-1(y) = x
2x + 1 = y jika dan hanya jika (y - 1) / 2 = x
Pembahasan Soal
1. Tentukan nilai dari f(g(x)) jika f(x) = x^2 – 2x + 3 dan g(x) = 2x + 1.
g(x) = 2x + 1
f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 – 2(2x + 1) + 3
= 4x^2 + 4x + 1 – 4x – 2 + 3 = 4x^2 + 1
2. Tentukan nilai x jika f(x) = 2x – 3 dan f^-1(x) = x/2 + 3/2.
f^-1(x) = x/2 + 3/2
x = 2(f^-1(x)) – 3 = 2(x/2 + 3/2) – 3 = x + 3 – 3 = x
3. Diketahui fungsi f(x) = x^3 + 2x^2 – 5x + 2 dan g(x) = x – 1. Tentukan:
a. (f o g)(x)
b. (g o f)(x)
c. (f o g o f)(x)
d. (g o f o g)(x)
a. (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x – 1) = (x – 1)^3 + 2(x – 1)^2 – 5(x – 1) + 2
b. (g o f)(x) = g(f(x)) = g(x^3 + 2x^2 – 5x + 2) = (x^3 + 2x^2 – 5x + 2) – 1
c. (f o g o f)(x) = f(g(f(x))) = f(f(x^3 + 2x^2 – 5x + 2)) = (x^3 + 2x^2 – 5x + 2)^3 + 2(x^3 + 2x^2 – 5x + 2)^2 – 5(x^3 + 2x^2 – 5x + 2) + 2
d. (g o f o g)(x) = g(f(g(x))) = g(f(x – 1)) = g((x – 1)^3 + 2(x – 1)^2 – 5(x – 1) + 2) = ((x – 1)^3 + 2(x – 1)^2 – 5(x – 1) + 2) – 1
Melalui contoh soal UN fungsi komposisi dan fungsi invers beserta pembahasannya, kita telah menyelami kompleksitas hubungan antar fungsi. Perakitan fungsi seperti karya seni mozaik yang indah, menyatukan fragmen-fragmen menjadi suatu mahakarya. Sebaliknya, kebalikan fungsi seperti bayangan yang terpantul di cermin, mengungkap identitas tersembunyi dari bayangnya. Kemahiran memecahkan soal-soal ini menandakan pemahaman mendalam tentang transformasi fungsi yang menjadi kunci untuk menaklukkan ujian nasional yang sangat kompetitif. Dengan menguasai keterampilan ini, siswa memposisikan diri mereka untuk sukses dalam eksplorasi matematika yang lebih lanjut, menyingkap misteri yang tak terhitung jumlahnya yang tersembunyi dalam kerangka kerja fungsi dan kehebatan transformasinya.